El 30 de julio, Alex Townsend le pidió a ChatGPT 5.6 que resolviera la conjetura de Crouzeix. Llevaba un año haciéndolo casi a diario y hasta ese día siempre recibía lo mismo: una demostración falsa o un argumento que se atascaba en un lema que faltaba. Esa vez el modelo le devolvió un enlace a un preprint publicado tres días antes que decía haberla resuelto. Townsend y Anne Greenbaum lo leyeron con escepticismo. Unas horas después estaban convencidos de que era bueno.
El autor del preprint es Shanmu Jin, residente de neurocirugía e investigador posdoctoral en el Peking Union Medical College Hospital de Pekín. Estudió geología, luego medicina, y en matemáticas solo cursó las asignaturas que se dan en cualquier carrera de ciencias. "Todo lo que va más allá de eso ha sido autodidacta", les contó por correo.
Puntos clave
- La conjetura de Crouzeix llevaba abierta desde 2004 y ha caído en manos de alguien sin formación matemática especializada.
- El teorema decisivo salió de una ejecución autónoma de unas 16 horas de GPT-5.6 Sol en el modo Work de ChatGPT.
- El prompt negaba el acceso a internet y exigía enjambres de subagentes que no convergieran entre sí, con auditorías adversariales de cada demostración candidata.
- Townsend, Greenbaum y el propio Michel Crouzeix han revisado el manuscrito y lo dan por correcto.
- Ocho días después apareció una segunda demostración independiente, de cinco páginas, también explorada con ChatGPT 5.6.
Qué dice la conjetura
Para una matriz compleja A, su rango numérico W(A) es una región convexa del plano complejo que contiene a sus autovalores. En matrices no normales los autovalores cuentan una historia incompleta, y el rango numérico captura bastante más del comportamiento de la matriz.
Crouzeix conjeturó en 2004 que, para todo polinomio p, la norma espectral de p(A) nunca supera dos veces el máximo de |p(z)| dentro de W(A). El interés no es estético. Si una función racional aproxima bien a otra función sobre W(A), una cota de este tipo traslada ese error de aproximación escalar a una cota de norma para la matriz. Es el puente entre aproximación en el plano complejo y análisis de GMRES y de los métodos de Krylov polinómicos y racionales, que es lo que hay debajo de medio cálculo numérico industrial.
El propio Crouzeix probó en 2007 que la constante 11,08 siempre sirve. En 2017, con Palencia, la bajó a 1+√2, unos 2,414. Ese mismo año el American Institute of Mathematics montó un taller de una semana en San José dedicado solo a esto. Veintidós años después seguía sin bajarse al 2.
Cómo se montó la sesión
Aquí está la parte que se puede copiar, y por eso conviene mirarla con detalle.
Jin adaptó un prompt que OpenAI había publicado para atacar la conjetura del Cycle Double Cover. El prompt le negaba explícitamente al sistema el acceso a la web y a cualquier contexto externo, para que no se apoyara en literatura ya publicada. Exigía una cartera ramificada de enfoques genuinamente distintos. Le decía que levantara muchos subagentes que pensaran por separado sobre la estrategia de demostración y que no convergieran antes de tiempo en la misma idea atractiva. Los obligaba a someter cada demostración candidata a auditorías adversariales, y a descartar una línea solo cuando apareciera un contraejemplo. Y le prohibía rendirse hasta que una demostración completa sobreviviera a la comprobación.
Arrancó la ejecución y no intervino. Unas 16 horas después tenía el Teorema 2 de su preprint. Townsend y Greenbaum escriben que se quedaron pasmados al leerlo: en vez de necesitar las estimaciones mucho más fuertes que todo el mundo esperaba, el argumento reduce el problema mediante una estrategia de muestreo cuidadosa a una condición de positividad sorprendentemente simple.
El repositorio público que ha dejado Jin incluye el prompt exacto, los manuscritos sucesivos, una formalización en Lean y una auditoría de axiomas. Es más material verificable del que suele acompañar a un paper normal. Y todo lo hizo compaginándolo con su trabajo principal, que es la neurocirugía clínica.
No fue un golpe de suerte aislado
El 4 de agosto, ocho días después del primer preprint de Jin, Emiel Lorist y Felix Schwenninger publicaron una demostración independiente de cinco páginas. Está formulada en lenguaje operador-teórico y combina la representación clásica de doble capa con un lema de perturbación para 2-dilataciones. Ellos también reconocen haber usado ChatGPT 5.6 para explorar estrategias de demostración.
Dos demostraciones genuinamente distintas de un problema de 22 años, en ocho días, con el mismo modelo por medio. Michael Hartz ya ha circulado notas reescribiendo la idea esencial del paper de Jin en su propio lenguaje y conectándola con la segunda. Jin, al que le preguntaron por su reacción, describió el segundo trabajo como un complemento interesante al suyo.
El propio Jin insiste en que hubo "sin duda un elemento de suerte" en dar con la idea clave. Es la clase de matiz que suele faltar en estas historias.
Por qué le importa a alguien que dirige una empresa
La tentación es quedarse con el titular de que la IA resuelve matemáticas. Lo útil está en el montaje.
Cuatro decisiones de diseño hicieron el trabajo. Encargo largo, no conversación: 16 horas sobre un solo objetivo, sin que nadie tocara nada por el camino. Contexto cerrado a propósito, para forzar razonamiento en lugar de recuperación. Varios agentes con instrucción explícita de discrepar, en vez de uno que se enamora de su primera idea. Y criterio de parada duro: no se descarta una línea sin contraejemplo, no se acepta una demostración sin sobrevivir a la auditoría.
Ese patrón se traslada tal cual a problemas que no son matemáticas. Un cierre contable con casuísticas raras, una revisión de contratos de proveedor, un análisis de márgenes por partida. Nosotros llevamos meses trabajando así en Barner y en Digital Brain: encargos largos con criterio de aceptación escrito antes de arrancar, no chats de ida y vuelta.
Y hay una segunda lectura menos cómoda. Townsend y Greenbaum la escriben con todas las letras: cuando cualquiera con una suscripción puede producir un resultado así, la carga de verificar sigue recayendo en los expertos, y no está claro que la academia tenga capacidad para absorber la avalancha. En tu empresa pasa lo mismo a otra escala. El cuello de botella deja de ser producir el trabajo y pasa a ser quién lo revisa y con qué criterio. Si vas a soltar agentes a trabajar ocho horas seguidas, monta antes la parte de verificación.
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